عدد پی چیست؟ – هرآنچه باید درباره حقایق و رازهای عدد 3/14 بدانید

همه‌ی ما از دوران دبستان عدد پی را می‌شناسیم. عددی که همواره در اکثر درس‌های ریاضیاتی همراه با ما بوده و همیشه به طور پیش‌فرض در بسیاری از فرمول‌ها حضور داشته است. در دوره‌های پایین‌تر معمولا این عدد را ۳ در نظر می‌گرفتیم اما وقتی به مقاطع تحصیلی بالاتر رفتیم، ۳/۱۴ تقریبی بود که برای پی تعریف کردیم. عدد پی به عنوان نسبت محیط دایره به قطر همان دایره تعریف می‌شود و این عدد صرف نظر از ابعاد، برای همه‌ی دایره‌ها یکسان است.

عدد پی یک ثابت ریاضیاتی با ویژگی‌های خاص خودش است. به طور مثال پی یک عدد گنگ است. یعنی هیچ مقدار صحیحی برای آن وجود ندارد و مانند اعداد طبیعی و صحیح نمی‌توان مقدار دقیق آن را با یک کسر نشان داد. برای نمونه، عدد ۳ را می‌توان با کسر نُه سوم (نُه تقسیم بر سه) نشان دهیم. اما مقدار دقیق عدد پی را نمی‌توان به این صورت نمایش داد زیرا ارقام اعشاری عدد پی تا بینهایت ادامه دارند و اصلا مقدار دقیقی برای آن وجود ندارد. نزدیک‌ترین کسر برای تخمین عدد پی کسر بیست و دو هفتم (۲۲ تقسیم بر ۷) است. اعداد اعشاری این عدد همچنین هیچ هیچ الگوی تکرار شونده‌ی خاصی ندارند و به طور تصادفی در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند.

عدد پی در بین اعدادی قرار دارد که بیشترین مطالعه و بررسی روی آن‌ها صورت گرفته. به مدت ۴۰۰۰ سال ریاضی‌دانان و دانشمندان زیادی بخشی از عمر خود را صرف مطالعه و تلاش برای پیدا کردن ارقام اعشاری این عدد کرده‌اند. افرادی مانند ارشمیدوس، نیوتون، فیبوناچی و گاوس. البته که بررسی عدد پی توسط این افراد کار مهمی هم برای خودشان و هم برای دانش بشری بوده است. عدد پی پایه‌ی فهم ما از هندسه است؛ از نجوم گرفته تا ریاضی و فیزیک و از معماری تا ساخت سازه همگی به عدد پی وابسته هستند.

نماد π (پی) که برای نشان دادن عدد ۳/۱۴ بکار می‌رود در واقع اولین حرف کلمه‌ی یونانی «پریمتورس» به معنی محیط است. همچنین از سال ۱۹۸۸ در آمریکا و رفته رفته در دیگر نقاط دنیا روز ۱۴ مارس را روز عدد پی نامیده‌اند و ریاضی‌دانان و علاقه‌مندان به این عدد آن را به روش‌های مختلف جشن می‌گیرند. دلیل نام‌گذاری این روز به عنوان روز عدد پی، یکی شدن عدد تاریخ میلادی با عدد پی است. چهارده مارس در تقویم میلادی بصورت ۳/۱۴ نمایش داده می‌شود؛ درست مانند عدد پی.

داستان ۴۰۰۰ ساله‌ی عدد پی

اولین سندهایی که نشان می‌دهند بشر با عدد پی و کاربردهای آن آشنا بوده به ۱۶۰۰ تا ۱۹۰۰ سال پیش از میلاد مسیح باز می‌گردد. البته که هنوز بر سر اینکه ابتدا در بابل کهن این عدد را کشف کردند یا در مصر باستان بحث وجود دارد. طبق مدارک موجود دانشمندان در بابل موفق شده بودند تا عدد پی را مساوی با ۳/۱۲۵ بدست بیاورند. همچنین مصریان باستان نیز این عدد را ۳/۱۶۰۵ محاسبه کرده‌ بودند. دلیل بدست آوردن عدد پی توسط این تمدن‌ها نیاز آن‌ها به چنین ثابتی جهت ساخت و ساز و حل معماهای هندسی مربوط به آن بود. البته که آن زمان، یعنی حدود ۴۰۰۰ سال پیش، بشر هنوز نمی‌دانست که پی عددی گنگ است.

ریاضی‌دانی به نام ارشمیدوس اما در سال ۲۵۰ قبل از میلاد، اولین نفری بود که با ارائه‌ی نظریه‌ی خود توانست چند رقم نخست عدد پی را با تقریب بسیار خوبی بدست آورد. ارشمیدوس با تقریب زدن مساحت دایره بوسیله‌ی چند ضلعی‌های منتظم توانست مقدار عدد پی را محاسبه کند.

در قرن‌های بعدی و پس از میلاد نیز تلاش‌ها برای بدست آوردن ادامه‌ی ارقام عدد پی ادامه داشت. به طور مثال در قرن پنجم پس از میلاد ریاضی‌دانان چینی موفق شدند این عدد را تا هفت رقم اعشار تخمین بزنند. یا در همین حین هندی‌ها توانستند تا پنج رقم اعشار این کار را انجام دهند. در قرن ۱۷ام میلادی هم قدم‌های مهم دیگری برداشته شد و دانشمندان به مقدار عدد پی نزدیک‌تر شدند. از جمله افراد تاثیرگذار آن زمان جیمز گریگوری، ریاضی‌دان اسکاتلندی بود. در سال ۱۷۶۱ نیز لامبرت، ریاضی‌دانی سوئیسی، نشان داد که پی عددی گنگ است و نمی‌توان آن را بصورت نسبت دو عدد صحیح نوشت.

جالب است بدانید که تا قبل از قرن ۱۸ام میلادی، عدد پی را با نام «مقداری که وقتی ضرب در قطر می‌شود، محیط دایره را حاصل می‌دهد» می‌شناختند. این ریاضی‌دان ولزی و دوست آیزاک نیوتون یعنی ویلیام جونز بود که برای اولین بار از حرف یونانی «پی» برای توصیف این عدد استفاده کرد. خود نیوتون نیز در ۱۶۶۵ میلادی عدد پی را تا ۱۶ رقم اعشار محاسبه کرد.

در ایران نیز و در قرن نهم هجری، غیاث‌الدین کاشانی، ریاضی‌دان ایرانی، عدد پی را تا ۱۶ رقم اعشار به درستی محاسبه کرد. در آن زمان کار او بسیار ارزشمند به حساب می‌آمد به طوری که تا ۱۸۰ سال پس از او هیچ کس موفق به محاسبه‌ی ارقام عدد پی بیشتر از همان ۱۶ رقم اعشار نشد.

برخی معتقدند که در زمان حکومت هخامنشیان بر ایران و برای ساختن تخت جمشید، عدد پی در ایران محاسبه و از آن استفاده شده است. این یعنی حدود ۲۵۰۰ سال پیش. البته که این اظهارات چندان هم معتبر نیستند و نمی‌شود آن‌ها را کاملا تایید یا تکذیب کرد. مسلما بررسی‌های تاریخی بیشتر جواب‌های دقیق‌تری در این رابطه به ما می‌دهند.

در مصر نیز برخی معتقدند که در ساخت اهرام جیزه از عدد پی استفاده شده است. اگر این درست باشد یعنی مصری‌ها از بسیار قبل‌تر از ۴۰۰۰ سال پیش توانسته بودند عدد پی را محاسبه کنند. دلیلی که برای این ادعا وجود دارد این است که ارتفاع این اهرام با محیط قاعده‌ی آن‌ها روی زمین همان نسبتی را دارد که قطر یک دایره با محیط همان دایره دارد.

در طول تاریخ یکی از علاقه‌مندی‌های ریاضی‌دانان ارائه‌ی فرمول‌هایی برای دقیق‌تر محاسبه کردن ارقام عدد پی بوده است؛ حتی با این وجود که می‌دانستند این عدد گنگ است و انتها ندارد. برخی حتی تمام عمر خود را صرف محاسبه‌ی این ارقام کرده‌اند. با این حال تا قبل از اختراع کامپیوترها و با وجود هزاران سال تلاش بشر، مقدار این ارقام بیشتر از ۱۰۰۰ نشد.

اولین محاسبه‌ی کامپیوتری ارقام عدد پی در سال ۱۹۴۹ صورت گرفت. این کامپیوتر عدد پی را تا ۲۰۰۰ رقم اعشار محاسبه کرد. امروزه کامپیوترهای پیشرفته ارقام عدد پی تا مرتبه‌ی چند تریلیون محاسبه کرده‌‌اند.

ذهن خلاق ارشمیدوس برای محاسبه‌ی پی

ارشمیدوس یکی از اولین افرادی بود که با ابداع الگوریتمی جدید توانست عدد پی را با تقریب بسیار خوبی بدست آورد. او که بین سال‌های ۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد مسیح می‌زیسته، برای محاسبه‌ی عدد پی از چند ضلعی‌های منتظم بهره برد. یک چند ضلعی درون دایره و دیگری بیرون آن.

 این چند ضلعی‌ها باید تا حد امکان در نزدیکی محیط دایره قرار می‌گرفتند. سپس ارشمیدوس تعداد اضلاع این چند ضلعی‌ها را افزایش می‌داد و محیط آن‌ها محاسبه می‌کرد. با این کار او می‌توانست حد بالا (محیط چند ضلعی خارج از دایره) و حد پایین (محیط چند ضلعی داخل دایره) را بدست آورد. محیط خود دایره بین این دو حد قرار دارد. در این روش ارشمیدوس توانست تا ۹۶ ضلع برای چند ضلعی‌ها رسم کند. سپس عدد پی را عددی بین ۳/۱۴۰۸ و ۳/۱۴۲۸ بدست آورد. هرچه تعداد اضلاع چند ضلعی‌ها بیشتر می‌شد، دقت عدد بدست آمده هم بالاتر می‌رفت.

از زمانی که ارشمیدوس از این روش استفاده کرد، یعنی حدود ۲۵۰ قبل از میلاد تا حدودا ۱۶۰۰ سال بعد، ریاضی‌دانان از روشی مشابه برای بدست آوردن ارقام عدد پی استفاده می‌کردند و سعی داشتند با افزایش تعداد اضلاع چند ضلعی منتظم، عدد پی را دقیق‌تر محاسبه کنند.

ستاره‌شناس اتریشی، کریستوف گرینبرگر در سال ۱۶۳۰ با استفاده از همین روش موفق شد تا ۳۸ رقم عدد پی را محاسبه کند. او برای این کار از چند ضلعی‌هایی با ۱۰۴۰ ضلع استفاده کرد. این کار گرینبرگر پس از گذشت چند قرن همچنان دقیق‌ترین محاسبه ارقام عدد پی بوسیله‌ی روش ارشمیدوس است.

البته طبق برخی اسناد، تا قبل از ارشمیدوس، تسو چونگچی، ریاضی‌دان و ستاره‌شناس چینی هم موفق شده بود تا با استفاده از همین روش عدد پی را بدست آورد. احتمالا عددی که او بدست آورده بود هم همان ۳/۱۴ بوده. اما متاسفانه از کارهای او اطلاعات چندان زیادی در دسترس نیست زیرا کتابی که آثار او در آن بوده در طول تاریخ گم شده است.

عدد پی را بیشتر بشناسید

دایره شکلی است که در بسیاری از ساختارهای طبیعت وجود دارد و به همین دلیل در بسیاری از فرمول‌های فیزیک از عدد پی به عنوان ثابت مربوط به دایره از آن بهره گرفته می‌شود. روابط مهم دایره که عدد پی در همه‌ی آن‌ها نقش دارد به گونه‌‌ زیر است:

محیط دایره: ۲×π×شعاع دایره

مساحت دایره: π×شعاع دایره×شعاع دایره

حجم کره: ۴٫۳× π×شعاع دایره×شعاع دایره×شعاع دایره.

جالب است بدانید که کامپیوترهای امروزی تا حدود ۱۰۰تریلیون رقم از عدد پی را محاسبه کرده‌اند و به نظر نمی‌رسد قصدی هم برای ادامه ندادن چنین محاسباتی داشته باشند. یک میلیون رقم نخست عدد پی را در این‌جا ببینید. حال با اینکه می‌دانیم پی عددی گنگ است و ارقام پس از اعشار آن هیچ‌گاه تمام نمی‌شوند و به همین دلیل هم هیچ‌وقت نمی‌توانیم مقدار دقیق پی را بدانیم. با این وجود تنها ۳۹ رقم ابتدایی عدد پی برای هر نوع محاسبه‌ای در عالم قابل مشاهده کافی است و به بیشتر از آن نیازی نداریم.

برای همین هم گاهی کار کار‌آمدی محاسبه‌ی ادامه‌ی ارقام عدد پی به میدان بحث و مناظره کشیده می‌شود. اگرچه که علاقه‌مندان به ریاضی و این عدد بدون توجه به‌ آن به کار خود ادامه می‌دهند. به طور مثال رکورد محاسبه‌ی بیشترین مقدار عدد پی توسط انسان را فردی اهل هندوستان به نام «سورش کومار» در اختیار دارد. او در سال ۲۰۱۵ موفق شد تا ۷۰۰۳۰ رقم عدد پی را محاسبه کند. لیست کامل افراد دارای رکورد در محاسبه‌ی ارقام عدد پی را در اینجا ببینید.

یکی از ویژگی‌های جالب و در عین حال عجیب عدد پی این است که در یک میلیون رقم نخستش شش عدد طبیعی اول به ترتیب وجود ندارند. یعنی در یک میلیون رقم نخست، ما اعداد ۱۲۳۴۵۶ را به همین ترتیب نمی‌بینیم. این یکی از دلایلی است که پی را عددی منحصر به فرد می‌کند.

محاسبه‌ی عدد پی توسط کامپیوترها برای آن‌ها مزیت‌هایی هم دارد و مانند یک روش برای امتحان آن‌ها عمل می‌کند. با محاسبه‌ی ارقام عدد پی توسط کامپیوترها، سطح فعالیت پردازشگر‌های آن‌ها مشخص می‌شود.

ادبیات عدد پی

شاید بسیار عجیب به نظر برسد اما با استفاده از عدد پی زبانی به نام زبان پایلیش (Pilish) ساخته شده است. حتی یک رمان هم به همین زبان نوشته شده. ساز و کار این زبان ساده است اما محدودیت‌هایی دارد که ممکن است استفاده از آن را چالش برانگیز کند و پایلیش را بیشتر به یک زبان هنری بدل کرده.

در زبان پایلیش، تعداد حروف یک کلمه باید دقیقا با عدد معادل خودش در دنباله‌ی اعداد پی برابر باشد. به طور مثال، سه رقم نخست عدد پی ۱۴/۳ است. حالا برای نوشتن یک جمله در زبان پایلیش می‌توانیم بنویسیم: Wow(3), a(1) star(4).

در این جمله، تعداد حروف کلمه‌ی اول یعنی wow با عدد اول پی، یعنی سه برابر است. به همین ترتیب تعداد حروف کلمه‌ی دوم و با عدد دوم پی و تعداد حروف کلمه‌ی سوم با رقم سوم عدد پی برابر است. به همین ترتیب با ادامه دادن ارقام عدد پی می‌توان متوجه شد که در هر جمله، کلمات باید چه تعداد حرف داشته باشند.

«مایک کیت» کسی است که تا کنون چندین داستان کوتاه به زبان پایلیش نوشته است. او همچنین یک رمان کامل را به همین نام نوشته است. نام رمان او Not(3) A(1) Wake(4) است. بسیاری از نویسندگان علاقه‌مند به زبان پایلیش همچنین شعرهایی را به این زبان می‌نویسند. بخصوص که محدودیت پایلیش باعث می‌شود تا نوشتن متن‌های عادی سخت باشد اما به نظر می‌رسد که سرودن شعر با استفاده از این زبان کار جذاب‌تری باشد.

در سال ۲۰۱۰، «نیک فیتزجرالد» که در آن زمان دانشجوی دانشگاه بریتیش کلمبیا بود در پژوهشی سعی کرد تا بررسی کتاب‌های مختلف به این پرسش پاسخ دهد که چه مقدار از نوشته‌های آن کتاب‌ها به طور تصادفی با زبان پایلیش هم منطبق می‌شوند. نتایج پژوهش او برای دوست‌داران این عدد ناامید کننده بود. در اکثر کتاب‌ها بلندترین رشته جملاتی که با زبان پایلیش منطبق می‌شدند بین سه تا پنج کلمه بود. در بین کتاب‌های بررسی شده فقط پنج کتاب بودند که تعداد کلمات متوالی منطبق با پایلیش به هشت عدد می‌رسید.

عدد پی از هزاران سال پیش در حل معماها و مسئله‌های ریاضی با بشر همراه بوده و زین پس نیز همین‌طور خواهد بود. عددی عجیب غریب که گاهی با استعدادترین ذهن‌ها در طول تاریخ را درگیرش خودش کرده و افراد زیادی از سراسر دنیا به آن علاقه دارند.

FAQ

• آیا ۱۴/۳ دقیقا عدد پی است؟

پی عددی گنگ و بدون دنباله‌ای منظم است. یعنی ارقام آن هیچ‌گاه به پایان نمی‌رسند و به طور تصادفی تا بی‌نهایت ادامه دارد. ۱۴/۳ صرفا یه رقم اول عدد پی است که برای حل اکثر مسئله‌ها کافی است.

• عدد پی چند رقم دارد؟

پی عددی گنگ است و بی‌نهایت رقم دارد. تا کنون حدود۳۱تریلیون رقم از آن به کمک کامپیوترها محاسبه شده است.

• ناسا از چند رقم عدد پی استفاده می‌کند؟

مهندسان ناسا تنها از ۱۵ رقم نخست عدد پی برای محاسبات مربوط به ارسال فضاپیما به فضا استفاده می‌کنند.

• آیا دنباله‌ی ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ در ارقام عدد پی پیدا شده؟

این دنباله‌ی عددی در ۲میلیارد رقم نخست عدد پی پیدا نشده است.

• نخستین عدد صفر در بین ارقام عدد پی در کجا قرار دارد؟

عدد صفر در بین ارقام عدد پی برای اولین بار در جایگاه ۳۲ قرار می‌گیرد.